Cross power spectrum
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- Cross spectral density (CSD) = cross power spectrum = cross-correlation 함수의 fourier transform
- 따라서, PSD는 CSD의 특수한 경우($x(t)=y(t)$)라고도 볼 수 있음.
- 연관된 개념: Total signal power, $R(0)$ = PSD 아래의 면적 = zero lag에서의 autocorrelation = 신호를 구성하는 데이터의 variance.
- 의미
- 두 개의 신호가 있을 때, (각 주파수 별로) 한 쪽 신호가 다른 쪽 신호에게 얼마나 많은 linear information을 전달하는 지에 대한 지표를 나타냄
Coherence
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- Spectral coherence: 두 개의 신호(또는 데이터 집합) 사이의 관계를 나타내는 통계치; 0에서 1사이의 값으로 표현됨.
- 즉, 두 개의 신호가 존재할 때, (주파수 차원에서) 한쪽 신호의 변화가 다른쪽 신호의 변화에 '선형적으로' 얼마나 영향을 미치는 지 판단할 수 있음; 선형 시스템에서 외부 잡음이 없다면, 해당 값은 1이 될 것임.
- 만약 값이 0이라면, 두 신호는 전혀 관련되어 있지 않은 것을 나타냄.
- 다음의 coherence 식은 때때로 magnitude-squared coherence (MSC)라고도 불림 (MathWorks 설명 참조). 한편, MSC를 계산할 때, 모든 주파수에서 1로 동일한 값을 얻는 상황을 방지하기 위해, averaged MSC estimator을 사용해야 한다고 함 (예: WOSA).
$$ C_{xy}(f) = \frac{\left |G_{xy}(f) \right |^2}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)} $$
- 의미
- 선형 시스템에서 Input과 output 간의 power transfer 추정에 사용되어 왔음.
- Ergodic 신호에 대해서라면, Input과 output 간의 인과관계 추정도 가능함.
- 그러나, 두 신호의 관계가 선형적이지 않을 경우의 coherence 값은 erroneous 하게 됨.
- 또한, Input/output 의 causal 관계 해석에 있어 혼동될 여지가 있을 수 있음을 주의할 필요.
- 다른 한편, 어느 주파수 대역에서 두 신호가 가장 선형적인 관계가 되는 지 찾아볼 수도 있음.
- 수식으로 살펴보자면, coherence는 각 신호의 spectrum을 이용한 "normalized" cross spectrum으로 볼 수 있음.
Random processes
- Random process > Wide-sense Stationary > Stationary > Ergodic
- 주요 개념
- Random process (= stochastic process)
- 무한히 많은 random variables의 집합; 일반적으로는 random variables을 시간 함수로 확장한 것을 의미함(확률 변수가 시간적으로 전개되는 과정).
- WSS Random process
- 어느 시점에 구하던지, 평균(1차 평균)과 자기 상관함수(2차 평균)이 일정한 경우
- Stationary process
- 시간에 따라 통계적 특성이 변하지 않는 random process; N차 통계에 대해 모두 시간 축의 이동에 무관할 경우 Strictly Stationary.
- Ergodic process
- 어떤 함수에 대해서도 앙상블 평균(시간을 고정시켜놓고 무한 개의 샘플함수로 계산한 것)이 시간 평균(임의의 샘플 함수를 선택해서 무한대의 시간에서의 구한 경우)과 같은 경우의 random process
- 참고 블로그
